In analisi numerica l'interpolazione di Lagrange è un particolare tipo di interpolazione polinomiale, fu scoperta per la prima volta da Edward Waring nel 1779, successivamente da Leonhard Euler nel 1783 e infine riscoperta da Joseph Louis Lagrange nel 1795.
Definizione
Data una funzione
e
punti
per cui sono noti i valori
si definisce il polinomio interpolatore di Lagrange della funzione
il polinomio
Proprietà
Per ogni
si ha
e per qualsiasi
si ha
dove
è un valore incognito funzione di
appartenente all'intervallo minimo a cui appartengono i punti
e
.
Dimostrazione
Per semplicità scriviamo
per cui
dove
ora abbiamo che per ogni
accade che
poiché l'espressione di
contiene un fattore
a numeratore, del resto
per ogni
da cui
.
Adesso consideriamo la funzione
quando
, essa ha
zeri nei punti
e
, derivando
volte
Dall'applicazione del teorema di Rolle per
volte la funzione
ha almeno uno zero
nell'intervallo minimo che contiene
e
.
Sappiamo che
è un polinomio di grado
il cui coefficiente di
è 1, per cui
, invece
è un polinomio di grado
per cui
, infine
da cui
Voci correlate
- Interpolazione
- Analisi numerica
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Interpolazione di Lagrange, su MathWorld, Wolfram Research.
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