Teorema della proiezione

In matematica, il teorema della proiezione o teorema della proiezione in spazi di Hilbert è un risultato dell'analisi convessa, utilizzato spesso in analisi funzionale, che stabilisce che per ogni punto ${\displaystyle x}$ in uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$ e per ogni insieme convesso chiuso ${\displaystyle C\subset H}$ esiste un unico ${\displaystyle y\in C}$ tale per cui la distanza ${\displaystyle \lVert x-y\rVert }$ assume il valore minimo su ${\displaystyle C}$. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso ${\displaystyle M}$ di ${\displaystyle H}$: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per ${\displaystyle y}$ è che il vettore ${\displaystyle x-y}$ sia ortogonale a ${\displaystyle M}$.

Per mostrare l'esistenza di ${\displaystyle y}$, sia ${\displaystyle \delta }$ la distanza tra ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle C}$, sia ${\displaystyle \{y_{n}\}}$ una successione in ${\displaystyle C}$ tale per cui la distanza al quadrato tra ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y_{n}}$ è minore o uguale a ${\displaystyle \delta ^{2}+1/n}$. Se ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle m}$ sono due interi allora, per la legge del parallelogramma:

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}=\|y_{n}-x+x-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-\|y_{n}+y_{m}-2x\|^{2},}$

da cui

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\|{\frac {y_{n}+y_{m}}{2}}-x\|^{2}.}$

Considerando il limite superiore ai primi due termini dell'uguaglianza, e notando che i termini della successione tra ${\displaystyle y_{n}}$ e ${\displaystyle y_{m}}$ appartengono a ${\displaystyle C}$ (e quindi hanno una distanza da ${\displaystyle x}$ maggiore o uguale a ${\displaystyle \delta }$), si ottiene:

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}\;\leq \;2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{n}}\right)+2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{m}}\right)-4\delta ^{2}=2\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)}$

L'ultima disuguaglianza mostra in particolare che ${\displaystyle \{y_{n}\}}$ è una successione di Cauchy. Essendo ${\displaystyle C}$ completo, la successione converge in un punto ${\displaystyle y\in C}$ la cui distanza da ${\displaystyle x}$ è minima.

Per mostrare l'unicità di ${\displaystyle y}$, siano ${\displaystyle y_{1}}$ e ${\displaystyle y_{2}}$ due punti che minimizzano la distanza. Si ha:

${\displaystyle \|y_{2}-y_{1}\|^{2}=2\|y_{1}-x\|^{2}+2\|y_{2}-x\|^{2}-4\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\|^{2}.}$

Dato che ${\displaystyle (y_{1}+y_{2})/2}$ appartiene a ${\displaystyle C}$ si ha:

${\displaystyle \|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\|^{2}\geq \delta ^{2}}$

e quindi:

${\displaystyle \|y_{2}-y_{1}\|^{2}\leq 2\delta ^{2}+2\delta ^{2}-4\delta ^{2}=0.}$

Pertanto ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$, che prova l'unicità.

Per mostrare l'equivalenza della condizione su ${\displaystyle y}$ nel caso in cui ${\displaystyle C=M}$ è un sottospazio chiuso, sia ${\displaystyle z\in M}$ tale che ${\displaystyle \langle z-x,a\rangle =0}$ per tutti gli ${\displaystyle a\in M}$. La condizione è sufficiente in quanto:

${\displaystyle \|x-a\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2}+2\langle z-x,a-z\rangle =\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2},}$

che prova il fatto che ${\displaystyle z}$ è un "minimizzatore". La condizione è anche necessaria, come si vede ponendo ${\displaystyle y\in M}$ un "minimizzatore". Sia ${\displaystyle a\in M}$ e ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Allora:

${\displaystyle \|(y+ta)-x\|^{2}-\|y-x\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +t^{2}\|a\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +O(t^{2})}$

è sempre non negativa. Quindi, ${\displaystyle \langle y-x,a\rangle =0}$.

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.
• (EN) Luenberger, D. G. Optimization by Vector Space Methods. New York: Wiley, 1997.

• Distanza (matematica)
• Insieme convesso
• Spazio di Hilbert

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema della proiezione, su MathWorld, Wolfram Research.

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