Teorema di Morley

In geometria, il teorema di Morley stabilisce che i punti di intersezione delle coppie di trisettrici degli angoli adiacenti allo stesso lato di un qualsiasi triangolo, sono i vertici di un triangolo equilatero,^[1] chiamato "primo triangolo di Morley" o più semplicemente "triangolo di Morley". Tale teorema fu enunciato per la prima volta nel 1899 dal matematico anglo-americano Frank Morley. Il teorema, chiamato anche "miracolo di Morley", per la sua generalità e semplicità, è stato oggetto poi di varie generalizzazioni, una delle quali mostra in particolare che, se tutte le trisecanti si intersecano, si ottengono altri quattro triangoli equilateri.
Il teorema di Morley è valido solo nell'ambito della geometria euclidea e non sussiste quindi né in quella sferica né in quella iperbolica.^[2]

Esistono molte dimostrazioni del teorema di Morley che utilizzano tecniche che vanno dalla geometria elementare, come nel caso della dimostrazione data da John Conway, in cui, a partire da un triangolo equilatero, si costruisce un altro triangolo che, alla fine, si può rendere simile a un triangolo qualsiasi (e il triangolo equilatero di partenza costituisce il suo triangolo di Morley),^[3][4] all'uso della trigonometria, all'utilizzo dei numeri complessi.^[5][6]

Una delle dimostrazioni che si avvalgono della trigonometria parte dalla seguente identità:

${\displaystyle \sin(3\theta )=4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )}$

[1]

che, applicando la formula di addizione del seno, si può dimostrare essere uguale a quest'altra identità:

${\displaystyle \sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .}$

La quale a sua volta può essere verificata applicando due volte la formula di addizione del seno al primo membro e poi utilizzando la formula :${\displaystyle \cos ^{2}\theta =1-\sin ^{2}\theta }$ per sostituire la funzione coseno.

Osservando la figura 1, si vede che sul lato ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ sono stati presi i punti ${\displaystyle D,E,F}$, e che, dato che la somma degli angoli interni di ogni triangolo è 180°, ${\displaystyle 3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }}$, da cui ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.}$ Da questo consegue che gli angoli del triangolo ${\displaystyle XEF}$ sono ${\displaystyle \alpha ,(60^{\circ }+\beta ),}$ e ${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma ).}$

Dalla figura 1 si vede anche che:

${\displaystyle \sin(60^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}}$

[2]

e

${\displaystyle \sin(60^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}.}$

[3]

Inoltre,

${\displaystyle {\hat {AYC}}=180^{\circ }-\alpha -\gamma =120^{\circ }+\beta }$

e

${\displaystyle {\hat {AZB}}=120^{\circ }+\gamma .}$

[4]

Applicando il teorema dei seni ai triangoli ${\displaystyle AYC}$ e ${\displaystyle AZB}$ si ottiene

${\displaystyle \sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

[5]

e

${\displaystyle \sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta .}$

[6]

L'altezza del triangolo ${\displaystyle ABC}$ può essere espressa, utilizzando l'equazione [1] per sostituire ${\displaystyle \sin(3\beta )}$ e ${\displaystyle \sin(3\gamma )}$, in due modi:

${\displaystyle h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )}$

e

${\displaystyle h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).}$

Utilizzando ora le equazioni [2] e [5] nell'equazione della ${\displaystyle \beta }$ e le equazioni [3] e [6] in quella della ${\displaystyle \gamma }$, si ottiene:

${\displaystyle h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

e

${\displaystyle h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta }$

Poiché i numeratori sono uguali:

${\displaystyle {\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}}$

o

${\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.}$

Poiché l'angolo ${\displaystyle EXF}$ e l'angolo ${\displaystyle ZAY}$ sono congruenti e i lati che formano questi angoli sono proporzionali, allora i triangoli ${\displaystyle XEF}$ e ${\displaystyle AZY}$ sono simili.

Ne consegue quindi che gli angoli ${\displaystyle AYZ}$ e ${\displaystyle XFE}$ sono congruenti e uguali a ${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma )}$, mentre gli angoli ${\displaystyle AZY}$ e ${\displaystyle XEF}$ sono congruenti e uguali a ${\displaystyle (60^{\circ }+\beta ).}$ Allo stesso modo si possono ricavare gli angoli alla base per i triangoli ${\displaystyle BXZ}$ e ${\displaystyle CYX.}$

In particolare si trova che l'angolo ${\displaystyle BZX}$ è pari a ${\displaystyle (60^{\circ }+\alpha )}$ e, sempre dalla figura 1, si vede che:

${\displaystyle {\hat {AZY}}+{\hat {AZB}}+{\hat {BZX}}+{\hat {XZY}}=360^{\circ }.}$

Sostituendo in base a quanto sopra detto e utilizzando l'equazione [4] per l'angolo ${\displaystyle AZB}$ si ottiene:

${\displaystyle (60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+{\hat {XZY}}=360^{\circ }}$

e quindi:

${\displaystyle {\hat {XZY}}=60^{\circ }.}$

Allo stesso modo si trova che anche gli altri due angoli del triangolo ${\displaystyle XYZ}$ hanno un valore di ${\displaystyle 60^{\circ }}$ e quindi che il triangolo ${\displaystyle XYZ}$ è un triangolo equilatero.

Il primo triangolo di Morley ha lati di lunghezza pari a:^[7]

${\displaystyle a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\sin(A/3)\sin(B/3)\sin(C/3),\,}$

dove R è il circumraggio del triangolo di partenza e ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$ e ${\displaystyle {\hat {C}}}$ sono gli angoli di tale triangolo. Poiché l'area di un triangolo equilatero è espressa dalla formula ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},}$ l'area del triangolo di Morley può essere espressa come:

${\displaystyle {\text{Area}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\sin ^{2}(A/3)\sin ^{2}(B/3)\sin ^{2}(C/3).}$

Il teorema di Morley implica l'esistenza di 18 triangoli equilateri. Il triangolo sopra descritto nel teorema, chiamato primo triangolo di Morley, ha i vertici che, in coordinate trilineari relative al triangolo ABC, sono espressi come:

A-vertice = 1 : 2 cos(C/3) : 2 cos(B/3)

B-vertice = 2 cos(C/3) : 1 : 2 cos(A/3)

C-vertice = 2 cos(B/3) : 2 cos(A/3) : 1

Un altro dei triangoli equilateri di Morley, anch'esso un triangolo centrale, chiamato secondo triangolo di Morley ha invece i vertici espressi come:

A-vertice = 1 : 2 cos(C/3 − 2π/3) : 2 cos(B/3 − 2π/3)

B-vertice = 2 cos(C/3 − 2π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 2π/3)

C-vertice = 2 cos(B/3 − 2π/3) : 2 cos(A/3 − 2π/3) : 1

Il terzo dei 18 triangoli equilateri di Morley, anch'esso un triangolo centrale, chiamato terzo triangolo di Morley è dato dai seguenti vertici:

A-vertice = 1 : 2 cos(C/3 − 4π/3) : 2 cos(B/3 − 4π/3)

B-vertice = 2 cos(C/3 − 4π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 4π/3)

C-vertice = 2 cos(B/3 − 4π/3) : 2 cos(A/3 − 4π/3) : 1

I tre triangoli sopra descritti formano tra loro coppie omotetiche. Un altro triangolo a loro omotetico è formato da tre punti X presenti sulla circumcirconferenza del triangolo ABC e tali per cui la linea XX ⁻¹ è tangente al circumcerchio, dove X ⁻¹ denota il coniugato isogonale di X. Tale triangolo equilatero, chiamato triangolo circumtangenziale, ha i seguenti vertici:

A-vertice = csc(C/3 − B/3) : csc(B/3 + 2C/3) : −csc(C/3 + 2B/3)

B-vertice = −csc(A/3 + 2C/3) : csc(A/3 − C/3) : csc(C/3 + 2A/3)

C-vertice = csc(A/3 + 2B/3) : −csc(B/3 + 2A/3) : csc(B/3 − A/3)

Un quinto triangolo equilatero, anch'esso omotetico agli altri, si ottiene ruotando il triangolo circumtangenziale di ?/6 attorno al suo centro. Chiamato triangolo circumnormale, i suoi vertici possono essere espressi come:

A-vertice = sec(C/3 − B/3) : −sec(B/3 + 2C/3) : −sec(C/3 + 2B/3)

B-vertice = −sec(A/3 + 2C/3) : sec(A/3 − C/3) : −sec(C/3 + 2A/3)

C-vertice = −sec(A/3 + 2B/3) : −sec(B/3 + 2A/3) : sec(B/3 − A/3)

Attraverso un'operazione chiamata "extraversione" si può ottenere ognuno dei 18 triangoli di Morley da ognuno degli altri 18. Inoltre, ogni triangolo può essere "extravertito" in tre diversi modi, e i 18 triangoli di Morley assieme alle 27 coppie di triangoli extravertiti, formati i 18 vertici e le 27 facce di un grafo di Pappo.^[8]

Il baricentro del primo triangolo di Morley in coordinate trilineari è espresso come:

Centro di Morley = X(356) = cos(A/3) + 2 cos(B/3)cos(C/3) : cos(B/3) + 2 cos(C/3)cos(A/3) : cos(C/3) + 2 cos(A/3)cos(B/3).

Il primo triangolo di Morley è omologo al triangolo ABC:^[9] le linee che connettono un vertice del triangolo di partenza con il vertice opposto del triangolo di Morley si incontrano nel punto:

Primo centro di Morley–Taylor–Marr = X(357) = sec(A/3) : sec(B/3) : sec(C/3).

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• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Morley, su MathWorld, Wolfram Research.