Varietà proiettiva
Una varietà proiettiva è l'insieme dei punti di uno spazio proiettivo -dimensionale (dove è un campo) che annullano simultaneamente una data famiglia di polinomi omogenei di , ossia
Sebbene tale assunzione non sia universalmente accettata[1], nella letteratura matematica recente[2] si suppone, nella definizione di varietà proiettiva, che essa sia irriducibile nella topologia di Zariski. Senza tale richiesta si parla invece di insieme algebrico proiettivo.
Osservazioni
- In geometria algebrica si suole richiedere che il campo base sia algebricamente chiuso.
- È immediato verificare che la varietà proiettiva può essere definita equivalentemente come insieme dei punti che annullano tutti i polinomi dell'ideale omogeneo generato dalla famiglia .
- Poiché vale il teorema della base di Hilbert, ossia che l'anello dei polinomi è noetheriano, la famiglia di polinomi che definisce può sempre essere presa finita.
- Un sottoinsieme aperto rispetto alla topologia di Zariski di una varietà proiettiva è detto varietà quasi-proiettiva.
Note
- ^ (EN) "Algebraic Geometry. A First Course", Joe Harris, Graduate Texts in Mathematics vol. 133, Springer, 1992, Berlin.
- ^ (EN) "Algebraic Geometry", Robin Harshorne, Graduate Texts in Mathematics vol. 52, Springer, 1997, Berlin.
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Varietà proiettiva, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Varietà proiettiva, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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