Rugownik – typ funkcji, której argumentami są pary wielomianów lub – z innej perspektywy – ich współczynniki, co czyni rugownik funkcją wielu zmiennych; jest zdefiniowany wyznacznikiem opisanym niżej. Kluczową własnością rugownika jest to, że wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.
Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym
Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia postaci[a][1]:
Przyjmuje się dodatkowo, że
Własności
Dla dowolnych wielomianów zachodzi:
- wtedy i tylko wtedy, gdy i mają wspólny pierwiastek.
- Istnieją takie wielomiany że
Niech będą postaci
Wtedy [b].
Zastosowanie
Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi
Rozpatrzmy układ równań wielomianowych – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg uzyskujemy:
gdzie są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:
Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg tworzy się rugownik Można udowdnić, że gdy para jest rozwiązaniem układu równań zachodzi oraz
Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości odciętej i rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par są rozwiązaniami układu równań.
Uwagi
- ↑ Współczynnik pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad Ich wzajemne położenie zależy od wartości
- ↑ Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.
Przypisy
- ↑ rugownik, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-04-26] .
Bibliografia
- Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, s. 300–318.
Linki zewnętrzne
- Przemysław Koprowski, Rugownik – twierdzenie Sylvestera, kanał autorski na YouTube, 21 kwietnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Resultant, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-04-26].
- Resultant (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].