Trójkąt prostokątny
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Pole_Tr%C3%B3jk%C4%85ta_Prostok%C4%85tnego.svg/300px-Pole_Tr%C3%B3jk%C4%85ta_Prostok%C4%85tnego.svg.png)
a, b – długości przyprostokątnych,
c – długość przeciwprostokątnej,
α, β – miary kątów ostrych,
h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną
Trójkąt prostokątny – trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty[1].
Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.
Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski, tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5[a].
Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.
Własności geometryczne
- środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym;
- przyprostokątne trójkąta prostokątnego są jego wysokościami;
- symetralne przyprostokątnych są liniami środkowymi;
- środkowa opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne;
- wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Powstałe trójkąty są podobne tak do siebie, jak i całego trójkąta.
Związki metryczne
- Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
- Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości.
- Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:
- Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem[2]:
- Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem[2]:
Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: Z twierdzenia Pitagorasa wynika: Zatem z wzorów na pole trójkąta: i
- Niech oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:
Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: gdzie to długości odcinków, na które wysokość dzieli Zatem
co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.
- Niech oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:
Uwagi
- ↑ Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5.
Przypisy
Bibliografia
- Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 224–225. ISBN 83-86007-63-X. (pol.).
Linki zewnętrzne
![]() | Zobacz hasło trójkąt prostokątny w Wikisłowniku |
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Right Triangle, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].
- p
- d
- e
trójkąty |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
czworokąty |
| ||||||
inne grupy z ustaloną liczbą boków |
| ||||||
wielokąty foremne |
| ||||||
wielokąty gwiaździste |
| ||||||
inne | |||||||
obiekty nazywane jak wielokąty |
| ||||||
uogólnienia |
- p
- d
- e
działy |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
funkcje trygonometryczne |
| ||||||
tożsamości trygonometryczne | |||||||
inne twierdzenia | |||||||
zagadnienia | |||||||
funkcje odwrotne – cyklometryczne |
| ||||||
powiązane pojęcia |
| ||||||
powiązane działy matematyki | |||||||
badacze |
| ||||||
pokrewne funkcje |
- BNCF: 38740
- PWN: 3989371
- Britannica: topic/right-triangle