Gli integrali di Fresnel, e , sono due funzioni speciali trascendenti introdotte in ottica dall'ingegnere francese Augustin-Jean Fresnel per studiare i fenomeni della diffrazione.
Indice
1Definizione
2Proprietà
2.1Dimostrazione limite per x tendente all'infinito
3Relazione con altre funzioni speciali
4Bibliografia
5Voci correlate
6Altri progetti
7Collegamenti esterni
Definizione
Esse sono definite attraverso le seguenti rappresentazioni:
anche se altri autori preferiscono definirle senza il nell'argomento di seno e coseno.
Gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati in forma chiusa in termini di funzioni elementari, salvo casi particolari. Infatti essi convergono all'infinito e si ha:
Dimostrazione limite per x tendente all'infinito
Poiché gli integrali di Fresnel non possono essere calcolati coi metodi tradizionali, una possibile dimostrazione di
sfrutta l'analisi complessa e il risultato dell'integrale di Gauss . L'integrale di partenza può essere scritto come parte reale di un numero complesso secondo quella che è la forma polare di un numero complesso:
Per calcolare il secondo integrale si sfrutta il teorema di Cauchy-Goursat scegliendo come cammino chiuso di integrazione la curva chiusa suddivisibile nei tre tratti , e come in figura:
Questa operazione si può fare perché la funzione è analitica in , che è semplicemente connesso.
Nel piano complesso ha equazione , con variabile; per ricondursi all'integrale della gaussiana si impone che l'inclinazione di tale retta sia tale che , ovvero . Il terzo integrale diventa quindi
che per , ovvero , vale
La curva può essere parametrizzata come , questa volta con variabile. Il secondo integrale diventa
Per , e , e vale la disuguaglianza . Ponendo , è possibile fare la seguente maggiorazione:
e dal teorema del confronto, segue che per il secondo integrale vale .
La curva , infine, può essere parametrizzata come . Dal teorema di Cauchy-Goursat
L'integrale di Fresnel cercato diventa perciò
come volevasi dimostrare.
Relazione con altre funzioni speciali
dove denota una funzione ipergeometrica confluente.