Forma sesquilineare
In matematica e fisica, una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori dello spazio un numero complesso e che è antilineare in un argomento e lineare nell'altro. In particolare, la convenzione utilizzata solitamente in matematica è che sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo, mentre in fisica accade il contrario (lineare nel secondo argomento, antilineare nel primo), in accordo con la notazione bra-ket introdotta da Paul Dirac nel formalismo della meccanica quantistica.
Poiché un'applicazione antilineare è talora detta semilineare, il nome sesquilineare trae origine dal prefisso latino sesqui- che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi. Inoltre, vari autori che studiano implicitamente soltanto spazi vettoriali complessi usano per brevità il termine "bilineare" al posto di "sesquilineare".
Una forma sesquilineare simmetrica è detta forma hermitiana, ed è analoga a una forma bilineare simmetrica nel caso reale.[1] Una forma hermitiana definita positiva è inoltre detta prodotto interno o prodotto hermitiano. Se si considera il campo reale tale prodotto è il prodotto scalare.[2]
Definizione
Sia uno spazio vettoriale complesso. Una forma sesquilineare sul campo è una mappa:
che associa ad ogni coppia di elementi e lo scalare .
Si tratta di un'applicazione lineare su una componente ed antilineare sull'altra, cioè:
con e .
In altre parole, per ogni in fissato, le applicazioni
sono rispettivamente lineare e antilineare.
Forma hermitiana
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)
Data una qualsiasi forma sesquilineare su , è sempre possibile associare una seconda forma sesquilineare che si dice ottenuta per trasposizione coniugata:
e si ha:
Una forma hermitiana è una forma sesquilineare tale che:[3]
La forma hermitiana standard sullo spazio è definita nel modo seguente:
Tali forme sono l'equivalente complesso delle forme bilineari simmetrica e antisimmetrica. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:
Prodotto interno
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)
Il prodotto interno, anche detto prodotto hermitiano, è una forma hermitiana definita positiva, cioè tale che:[2]
se . Un prodotto hermitiano è sovente indicato con , e uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto hermitiano si dice spazio prehilbertiano.
Il prodotto interno è in generale definito sul campo complesso, e nel caso si consideri il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.
Forma antihermitiana
Una forma antihermitiana è una forma sesquilineare tale che:
ovvero:
Ogni forma antihermitiana si può esprimere come:
dove i è l'unità immaginaria e è una forma hermitiana.
Analogamente al caso precedente, in dimensione finita una forma antihermitiana è rappresentabile tramite una matrice antihermitiana. La forma quadratica associata ad una forma antihermitiana ha solo valori immaginari.
Matrice associata
Supponiamo che abbia dimensione finita. Sia
una base di . Ogni forma hermitiana è rappresentata da una matrice hermitiana definita come
e vale la relazione
dove è il vettore in delle coordinate di rispetto a . D'altra parte, ogni matrice hermitiana definisce un prodotto hermitiano. Come per le applicazioni lineari, questa corrispondenza fra forme e matrici dipende fortemente dalla scelta della base .
Forma quadratica
Ad una forma hermitiana è possibile associare una forma quadratica definita come:
Tale forma ha tutti valori reali: una forma sesquilineare è hermitiana se e solo se la forma quadratica a lei associata ha solo valori reali.
Note
- ^ S. Lang, Pag. 197.
- ^ a b Hoffman, Kunze, Pag. 271.
- ^ S. Lang, Pag. 158.
Bibliografia
- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
- Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
- K.W. Gruenberg & A.J. Weir (1977) Linear Geometry, §5.8 Sesquilinear Forms, pp 120–4, Springer, ISBN 0-387-90227-9.
Voci correlate
- Forma bilineare
- Forma quadratica
- Matrice antihermitiana
- Matrice hermitiana
- Operatore autoaggiunto
- Prodotto scalare
- Spazio di Hilbert
- Spazio prehilbertiano
- Trasformazione antilineare
- Trasformazione lineare
Collegamenti esterni
- forma sesquilineare, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Forma sesquilineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)