Matrice ortogonale
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa.
Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria.
Definizione
Data una matrice invertibile , indicando con la sua trasposta si definisce ortogonale se:
laddove è la matrice identità, ovvero la trasposta è l'inversa.
In modo equivalente, una matrice ortogonale è una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo, oppure è una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.
Si può ricavare che il numero di parametri indipendenti in una matrice ortogonale di dimensione è .
Proprietà
Basi ortonormali
Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo con l'ordinario prodotto scalare. Questa proprietà è semplicemente la rilettura della relazione .
Rileggendo similmente la relazione , si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di .
Isometrie
Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di che sono anche isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.
Viceversa, se è un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione finita dotato di un prodotto scalare definito positivo, e è un'applicazione lineare con:
per tutti gli elementi , di , allora è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di da una matrice ortogonale.
In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.
Gruppo ortogonale
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)
Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.
Analogamente, il prodotto di due matrici ortogonali è una matrice ortogonale. Infatti:
Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali forma un gruppo rispetto all'operazione "moltiplicazione tra matrici/composizione di funzioni lineari", il gruppo ortogonale, che è un gruppo di Lie e viene indicato con .
La sua dimensione è . Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici che vanno da 1 a , ma l'equazione relativa a con equivale a quella relativa a e quindi ci sono solo equazioni indipendenti, e quindi gradi di libertà.
Matrice ortogonale speciale
Il determinante di ogni matrice ortogonale è o . Questo si può dimostrare come segue:
Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale.
L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali formano un sottogruppo di di indice 2, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato .
Autovalori e decomposizioni
Autovalori
Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto . Autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali tra loro.
Decomposizioni lungo piani
Data una matrice ortogonale , esiste una matrice ortogonale , tale che:
dove denotano matrici di rotazione . Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di .
Decomposizione QR
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)
Se è una arbitraria matrice di tipo di rango (cioè ), si può sempre scrivere:
dove è una matrice ortogonale di tipo e è una matrice triangolare superiore di tipo con valori positivi sulla diagonale principale. La decomposizione QR può essere dimostrata applicando l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle colonne di .
Questa decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.
Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)
Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alle rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Ad esempio, i vettori della base canonica di sono e e un generico vettore di questo piano cartesiano si può scrivere:
La matrice ortogonale:
rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice , poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:
La matrice ortogonale:
rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse , poiché il punto ha come immagine :
Per i due prodotti di queste matrici si trova:
Si tratta delle due rotazioni nel piano di e di , rotazioni opposte: quindi le due matrici anticommutano. In formule:
Si considerino ora ed come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari:
sfruttando la composizione:
si trova:
Per il quadrato di una di queste entità in particolare:
Si può quindi definire come prodotto interno di e la precedente composizione, a meno della matrice unità . Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva. Il prodotto interno di una entità matriciale e vettoriale con sé stessa fornisce il quadrato della sua norma.
Dato che le entità base anticommutano si vede che:
Le entità ed sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni: sono matrici ortogonali e rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.
Matrici ortogonali trigonometriche
Matrice ortogonale 2×2
Matrice ortogonale 3×3
Queste matrici sono anche matrici di rotazione di coordinate. Utilizzando le equazioni di rotazione di uno spazio n-dimensionale si possono costruire matrici ortogonali trigonometriche di dimensione .
Bibliografia
- (EN) A.I. Mal'tsev, Foundations of linear algebra , Freeman (1963) (Translated from Russian)
- (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 43
- (EN) H.W. Turnball, A.C. Aitken, An introduction to the theory of canonical matrices , Blackie & Son (1932)
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- (EN) Nicholas Higham. Computing the Polar Decomposition—with Applications. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7(4):1160–1174, 1986. ISSN 0196-5204. [2] Archiviato il 7 ottobre 2007 in Internet Archive.
Voci correlate
- Algebra di Clifford
- Gruppo ortogonale
- Matrice antisimmetrica
- Matrice normale
- Matrice simplettica
- Matrice trasposta coniugata
- Matrice unitaria
- Teorema di Schur-Horn
Collegamenti esterni
- matrice ortogonale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, Matrice ortogonale, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Matrice ortogonale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)