Matrice simmetrica
In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa.
Definizione
Detta la matrice trasposta di , una matrice è simmetrica quando:
o equivalentemente quando i suoi elementi soddisfano:
Per matrici a coefficienti reali i concetti di matrice simmetrica e di matrice hermitiana (una matrice uguale alla propria trasposta coniugata) sono equivalenti.
Proprietà
Uno dei teoremi basilari riguardanti tali matrici è il teorema spettrale in dimensione finita, il quale afferma che ogni matrice simmetrica a coefficienti reali può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale.
Una matrice , definita su un campo a caratteristica diversa da 2 (o più in genere su un anello nel quale l'elemento 2 è invertibile), può sempre essere scritta come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica . Supponendo infatti di poter scrivere:
per definizione di matrice simmetrica e di matrice antisimmetrica si ha:
quindi le matrici e sono univocamente determinate:
Su un anello nel quale la divisione per 2 non è sempre possibile questo ragionamento non si può applicare, ed esistono sempre dei controesempi. Ad esempio, una matrice della forma:
non si può scrivere come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica né sull'anello degli interi , né sul campo finito .
Esempi
I coefficienti di una matrice simmetrica sono simmetrici rispetto alla diagonale principale (che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra). Ad esempio:
Ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutti i coefficienti all'esterno della diagonale principale sono zero.
Il prodotto , tra una qualsiasi matrice e la sua trasposta, restituisce sempre una matrice simmetrica.
Esempi di particolari matrici simmetriche sono la matrice di Hankel, la matrice di Gram, la matrice di Hilbert e la matrice di Filbert. Vi sono anche la matrice di Toeplitz, la matrice identità, e la matrice nulla.
Bibliografia
- (EN) F.R. Gantmakher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959–1960) pp. Vol. 1, Chapt. IX; Vol. 2, Chapt. XI
- (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 2.7
Voci correlate
- Glossario sulle matrici
- Matrice antisimmetrica
- Matrice hermitiana
- Matrice antihermitiana
- Matrice normale
- Matrice trasposta
- Operatore aggiunto
- Operatore autoaggiunto
- Teorema di Schur-Horn
- Quoziente di Rayleigh
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Matrice simmetrica, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Matrice simmetrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
- Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, by Chao-Kuei Hung from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.
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